Discussion sur un forum de maths
Voici un sujet de maths niveau 6e, donné au lycée Hanoi-Amsterdam : sujet en pdf, en docx.
J’ai diffusé ce sujet sur des forums de profs de maths. La remarque principale est … qu’ils n’y croient pas ! Ce que je peux comprendre… car quand on voit les difficultés de nos élèves de terminale S pour résoudre une équation ou faire une factorisation avec une identité remarquable, on arrive à penser que les mathématiques ne sont plus à la porté des collégiens… Pourtant, le Vietnam utilise les anciens programmes français, le système éducatif est une copie du modèle français, avec une division en école primaire, collège et lycée. Les collègues sceptiques peuvent consulter un ancien manuel scolaire français, ils peuvent constater que ce sujet est à la porté des meilleurs collégiens français des années 80. Il faut aussi noter que le lycée Hanoi-Amsterdam entraîne les élèves aux olympiades internationales de mathématiques, il y a une sélection à l’entrée…
J’ai également parlé des sommes genre S_1=1+2+…+n, S_2 = 1.2 + 2.3+ … + n.(n+1), S_3=1²+2²+…+n², etc. qui sont enseignées en Asie en classe de … 6e ou 5e ! Les méthodes utilisées sont : sommes télescopiques ou différences décalées genre a*S-b*S.
Exemple de sommes télescopiques:
S_3 = 1² + 2² + …+ n² = 1.1 + 2.2 +… + n.n = 1.(2-1) + 2.(3-1) + … + n.(n+1-1) = S_2 – S_1
Or S_1 = 1 + 2 + 3 + ….+n = n(n + 1)/2 et S_2 = n(n+1)(n+2) /3, d’où S_3 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
Utilisons une somme télescopique pour calculer S_2 :
3.S_2 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +..+ n(n+1).3 = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +..+ n(n+1)(n+2 -(n-1))
= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +.. – (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)
= n(n+1)(n+2)
Donc S_2 = n(n+1)(n+2) /3.
Exemple de différences décalées : A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^10 + 2^11
2.A – A = 2^11 – 1